微積分的力量：一個最初與形狀相關的理論，如何重塑了人類文明？

遇見數學

教育達人，優質創作者

有一種罕見而有趣的歷史觀點認為，世界被一個神秘的數學分支徹底改變了。

科學或許是唯一的神

小說家赫爾曼·沃克正在為他計劃寫作的一部關於“二戰”的長篇小說做調研，他去加州理工學院采訪了參與過原子彈研發的物理學家，理查德·費曼就是其中之一。采訪結束臨別之際，費曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他並不了解，於是費曼說道：“你最好學學微積分，它是上帝的語言。”

理查德·費曼（左）赫爾曼·沃克（右）

宇宙是高度數學化的， 但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內的宇宙的唯一可行的存在方式，因為非數學化的宇宙無法庇護能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達出來。我敢打賭，如果有什麼東西稱得上宇宙的奧秘，那麼非微積分莫屬。

人類在不經意間發現了這種奇怪的語言（先是在幾何學的隱秘角落裏，後來是在宇宙密碼中），然後學會熟練地運用它，並破譯了它的習語和微妙之處，最終利用它的預測能力去重構世界。

這是本書的中心論點。

如果這個論點是正確的，那麼它意味著關於生命、宇宙和萬物的終極問題的答案並不是42，為此我要向道格拉斯·亞當斯和《銀河系漫遊指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫遊指南》中的一台超級計算機）的解題思路是正確的，因為宇宙的奧秘確實是一系列數學問題。

▲ 《銀河系漫遊指南》劇照，“深思”給出宇宙的終極答案：42， （圖源duitang·com）

費曼的那句妙語“微積分是上帝的語言”，引出了許多深奧的問題。我之所以寫作本書，就是為了讓每個人都能了解關於微積分的最精彩的思想和故事。我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳肴一樣。

無窮原則

為了幫助你理解我們討論的方向，我先說一下什麼是微積分。簡言之，微積分就是想讓複雜的難題簡單化，它十分癡迷於簡單性。這可能會讓你感到驚訝，因為微積分向來以複雜性著稱。

微積分成功的方法是，把複雜的問題分解成多個更簡單的部分。當然，這種策略並不是微積分獨有的。微積分真正不同凡響和標新立異的做法在於，它把這種分而治之的策略發揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休無止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個最微小並且可以想象的部分。

因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數學術語來說，切分過程叫做微分學。重組過程叫做積分學。

現在，我們終於可以闡明這個偉大的理念了。

無窮原則：為了探究任意一個連續的形狀、物體、運動、過程或現象（不管它看起來有多麼狂野和複雜），把它重新想象成由無窮多個簡單部分組成的事物，分析這些部分，然後把結果加在一起， 就能理解最初的那個整體。

而這一切的難點就在於，我們需要和無窮打交道，但無窮是微積分中最令人頭疼的問題，它往往會掙脫主人的控制，不可避免地會攻擊創造出它們的人。

微積分的創造者意識到了這種危險，但仍然發現無窮的魅力不可抗拒。當然，它偶爾也會發狂，帶來悖論、困惑和哲學災難。不過，數學家每次都能成功地征服無數怪物，理順它的行為，讓它重回正軌。駕馭無窮並利用它的力量，這種欲望是一條貫穿微積分的2500 年歷史的敘事線索。

曲線、運動和變化

無窮原則圍繞著方法論主題構建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關，也與謎題有關。最重要的是，有三個謎題促進了微積分的發展，它們分別是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。

一切都始於曲線之謎。

沒有人能算出一個球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長和面積，在古代也是一個難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便於理解的平直部件。總之，所有彎曲的東西都難以捉摸。

微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生於幾何學家對圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個時代的“喜馬拉雅山脈”，它們激發了人類的冒險精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險家一樣， 幾何學家之所以想解決曲線問題，是因為它們就在那裏。

有些幾何學家堅持認為“曲線事實上是由平直部件構成的”，這種觀點帶來了突破性進展。盡管這不是事實，但我們可以假裝它是真的。那麼，唯一的問題就在於，這些部件必須無窮小，而且數量無窮多。通過這個巧妙的構思，積分學誕生了，這是人們對無窮原則的最早應用。多個世紀以來，世界上最偉大的數學家都在努力探究這個難題的解決辦法。不過，通過共同的努力（有時還伴有激烈的競爭），他們終於在破解曲線之謎上取得了進展。

▲ 用微積分原理繪制的需下頜手術的患者面部模型（左二）和預測術後效果模型（右二）

之後，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽系中的運動之謎。

我們將在本書的中間章節裏看到，微積分的下一次重大進步源於對運動之謎的探索。就像在破解曲線之謎時一樣，無窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創造性假設是，速度不停變化的運動是由無窮多個無限短暫的勻速運動組成的。

17 世紀中期，微積分的發展時斷時續，非常緩慢，代數一部分數學家當作笑話，漸漸失去話語權。

這時有一個孩子在聖誕節那天出生了——早產兒，沒有父親，3 歲時又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日後會在世界上留下空前絕後的印記。

　▲ 艾薩克·牛頓

他先是通過把代數的符號與無窮的力量結合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無窮多條簡單曲線（用變量x 的冪來描述，比如x、x、x^4 等）的和。僅用這些“食材”，通過加一點兒x、少許x 和滿滿一湯匙x，他就可以“烹飪”出他想要的任何曲線。有了它，牛頓就能解決關於形狀或運動的任何問題了。

之後，他破解了宇宙密碼。他僅用幾個微分方程（他的運動和萬有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的運行軌道在內的所有現象。牛頓的驚人的“世界體系”統一了天和地，掀起了啟蒙運動，改變了西方文化， 對歐洲的哲學家和詩人產生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·傑斐遜和《獨立宣言》的起草。

　　▲ 牛頓手稿

在破解了曲線之謎和運動之謎後，微積分轉向了它的第三個由來已久的謎題——變化之謎。

在執行這項宏大計劃的過程中，微積分一直在與其他科技領域合作，為實現世界的現代化做出了貢獻。1917 年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應用於一個簡單的原子躍遷模型，從而預測出一種被稱為受激發射的神奇效應。幾十年後，這個預測被證明是正確的。第一台可運行的激光器在20世紀60年代初建成，從那時起，光盤播放機、激光制導武器、超市的條形碼掃描儀和醫用激光器等設備都離不開激光。

變化定律在醫學領域並不像在物理學領域那樣為人熟知。然而，即便被應用於基本模型，微積分也能對挽救生命做出貢獻。比如，在微積分提供的對病毒繁殖速度的新認識的幫助下，HIV感染已經從幾乎被判了死刑的疾病轉變為可控制的慢性疾病。

不可否認的是，我們身處一個不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無窮原則固有的近似性和出自主觀願望的想法，比如量子力學不再遵循牛頓運動定律。可即使在牛頓的物理學行不通的亞原子領域，他的微積分也依然有效。事實上，他的表現相當出色。

現在是時候去更深入地了解宇宙的語言了，當然，我們這趟旅程的起點是“無窮”站。

本文摘自中信出版·鸚鵡螺《微積分的力量》：引言，有刪改。遇見數學已獲授權

在《微積分的力量》書中，應用數學家兼“導遊”斯托加茨將用一種“講故事”和“看展覽”的方式為你一一揭曉答案。“我們不必為了理解微積分的重要性而學習如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學習如何做佳肴一樣。我將借助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋你們需要了解的關於微積分的知識。我也會給你們介紹有史以來頗為精致的一些方程和證明，就像我們在參觀畫展的時候不會錯過其中的代表作一樣。”

因此，哪怕你對數學及其在這個世界上扮演的角色只有一點點好奇心，也請你讀讀這本令人驚歎的書。教師、學生、你和我，都會因為這本書而受益匪淺。